Maret 2014 ~ Perpustakaan Digital

Matematika

1.Fungsi Kuadrat
2. Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
3. Pengertian Matriks dan Jenis-Jenis Matriks
4. Ordo Matriks
5. Matriks 3x3

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

Fungsi kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum: f(x) = ax^2 + bx + c, dengan a. b. c suatu bilangan real dan a \neq 0.

Contoh: f(x) = 3x^2 + 5x + 7
Menentukan Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan grafik fungsinya pada koordinat Cartesius, tentukan titik potong terhadap sumbu x terlebih dahulu, dengan membuat f(x) = 0, kemudian cari akar-akarnya seperti pada persamaan kuadrat.Setelah itu, tentukan sumbu simetri grafiknya, yaitu garis yang membagi dua kurva fungsi tersebut pada sumbu x.Sumbu simetri dapat dihitung dengan menggunakan rumus: x = -\frac{b}{a}
Terakhir, tentukan titik puncak grafiknya, yaitu titik di mana kurvanya berbalik arah, atau berada pada titik maksimum.

Misalkan titik puncaknya adalah P, maka koordinat titik puncak dapat dihitung dengan menggunakan rumus: P(-\frac{b}{a}, -\frac{D}{4a}) dengan D merupakan nilai diskriminan fungsi tersebut.

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.
Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

    Jika a > 0, maka grafiknya terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum. (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil)    Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum. (titik puncaknya mempunyai nilai terbesar) Jika D merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c, maka:

        Jika D > 0, maka grafik y = f(x) memotong sumbu x pada dua titik yang berbeda
        Jika D < 0, maka grafik y = f(x) menyinggung sumbu x pada satu titik.
        Jika D < 0, maka grafik y = f(x) tidak memotong sumbu x

Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

18.07 Matematika No comments

Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

a. Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut :
       $\inline \fn_cm a^{n}=\underbrace{a \: \: x \: \: a\:\: x\: ....x\: a}$
      Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk $\inline \fn_cm a\neq 0$ berlaku :
       $\inline \fn_cm a)\: \: a^{0}=1$
       $\inline \fn_cm b)\: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat
       $\inline \fn_cm a).\: \: a^{m}\: x\: a^{n}=a^{m+n}$
       $\inline \fn_cm b).\: \: \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
       $\inline \fn_cm c).\: \: (a^{m})^{n}=a^{m.n}$
       $\inline \fn_cm d).\: \: (a\, x\, b)^{n}=a^{n}\, x\, b^{n}$
       $\inline \fn_cm e).\: \: \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\, \, \: b\neq 0$

b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
       $\inline \fn_cm a).\: \: b^{n}=a\, \Leftrightarrow \, \sqrt[n]{a}=b$
       $\inline \fn_cm b).\: \: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$
2). Sifat-sifat bentuk akar.
       $\inline \fn_cm a).\: \: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
       $\inline \fn_cm b).\: \: p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}$
       $\inline \fn_cm c).\: \: p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}$
       $\inline \fn_cm d).\: \: \sqrt[n]{a.b}=\sqrt[n]{a}\,\, x\, \sqrt[n]{b}$
       $\inline \fn_cm e).\: \: \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\, ,b\neq \neq 0$
       $\inline \fn_cm f).\: \: \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$
3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
       $\inline \fn_cm a).\: \: \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\, x\, \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$
       $\inline \fn_cm b).\: \: \frac{a}{\sqrt{b}\, +\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}\, +\sqrt{c}}\, x\, \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$
                            $\inline \fn_cm =\frac{a}{b-c}(\, \sqrt{b}-\sqrt{c}\, \, )$

c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan $\inline \fn_cm p\neq 1$ maka berlaku :
       $\inline \fn_cm {}^{p}\log{a}=n\, \Leftrightarrow \, p^{n}=a$
      Dari hubungan tersebut, diperoleh :
       $\inline \fn_cm a).\, \, p^{0}=1\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{1}=0$
       $\inline \fn_cm b).\, \, p^{1}=p\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{p}=1$
       $\inline \fn_cm c).\, \, p^{n}=p^{n}\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{p^{n}}=n$
2). Sifat-sifat logaritma
       $\inline \fn_cm a).\, \, {}^{p}\log{ab}=\, {}^{p}\log{a}\, +\, {}^{p}\log{b}$
       $\inline \fn_cm b).\, \, {}^{p}\log{\left ( \frac{a}{b} \right )}=\, {}^{p}\log{a}\, -\, {}^{p}\log{b}$
       $\inline \fn_cm c).\, \, {}^{p}\log{a^{n}}=\, n\, x\, {}^{p}\log{a}$
       $\inline \fn_cm d).\, \, {}^{p}\log{a}=\, \frac{{}^{n}\log{a}}{{}^{n}\log{p}}$
       $\inline \fn_cm e).\, \, p^{{}^{p}\log{a}}=a$

Pengertian Matriks dan Jenis-Jenis Matriks

18.05 Matematika No comments

Metriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Bentuk Matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Contoh perhitungan :

$5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$

Jenis-jenis Matriks

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari matriks tersebut.

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

Contoh :

Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )

Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

Contoh :

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contah :

Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh :

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf O.

contoh :

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contah :

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh :

Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh :

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh :

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

Contoh :

Perpustakaan Digital

This is default featured slide 1 title

This is default featured slide 2 title

This is default featured slide 3 title

This is default featured slide 4 title

This is default featured slide 5 title

Selasa, 25 Maret 2014

Matematika

Fungsi Kuadrat

Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Pengertian Matriks dan Jenis-Jenis Matriks

Perkalian matriks

Jenis-jenis Matriks

Cari Blog Ini

Bagaimana pendaptmu dengan Blog saya?

Evaluasi

Quiz

Pengikut

Total Tayangan Halaman

Labels

Blog Archive

Selasa, 25 Maret 2014

Perkalian matriks

Jenis-jenis Matriks

Social Profiles

Cari Blog Ini

Bagaimana pendaptmu dengan Blog saya?

Evaluasi

Quiz

Pengikut

Total Tayangan Halaman

Labels

Blog Archive